Question

已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，且PO=4，MN分别是OA,OB上的动点，则▲PMN周长最小值为？

已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，且PO=4，MN分别是OA,OB上的动点，则▲PMN周长最小值为？ 要过程，我没图，等级不够 ..

Answer 1

作出点P关于直线OA的对称点F,关于直线OB的对称点E.

任意取OA上一点M,OB上一点N.

由对称点的性质:MF=MP,NE=NP

所以三角形PMN的周长=PM+MN+NP=FM+MN+NE

由两点间直线最短,所以只有当M,N在线段FE上时,上面的式子取最小值.也就是说只要连接FE,它分别与OA,OB的交点M,N即为所求.

这时三角形PMN的周长=FE,只要求FE的长就行了.

容易知道OF=OE=OP=10,∠FOA=∠AOP,∠POB=∠BOE.

所以∠FOE=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠BOE=2(∠AOP+∠POB)=2∠AOB=90度

所以三角形FOE是等腰直角三角形,直角边等于4,易求得斜边FE=4*根号2

也就是说,三角形PMN的周长的最小值=FE=4*根号2

Answer 2

没图只能用语言表述，希望能够理解，照着我的步骤画一下
1：首先PO=4可以知道P的轨迹为以O为圆心4为半径的圆，画圆。
2：要想周长最小即为3点一线，所以过圆弧多个点作一系列的平行线，则可以发现在点P与点M（或N）重合时，MPN最小，所以P在∠AOB的任意一边上。
3：任意指定P在OA上，则易知当MP垂直于OB时MPN最短，最短距离为MNP=【（根号2）/2】*4=2*根号2
希望能够理解