Question

数列1/1、2、3、5、8、13、21....的特征是：从第三个数开始，后一个数总是等于前面两个数的和，我们称它为

数列1/1、2、3、5、8、13、21....的特征是：从第三个数开始，后一个数总是等于前面两个数的和，我们称它为斐波那契数列。问：斐波那契数列中的第150项除以3的余数是多少？

Answer 1

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

将n=150代入F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}后除以3就是你要的答案,即2

Answer 2

项数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20……
余数：1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0……
去除前三项余数每八项进行0、2、2、1、0、1、1、2的一个循环，所以第152项除以三的算法为（150-3）除以8余2，所以第152项除以3余数为5个循环数中第六个即2。

Answer 3

余数分别是 1 1 2 0 2 2 1 0
1 1 2 0 2 2 1 0
按此规律下去150/8=18…6 故余数为2