Question

有没有函数在某点 可导但是不连续的（知道这和定理不符，但请看我的例子，到底问题在哪里）？

比如：对于分段函数，y=x^2(当x>o或x<o)，y=1（当x=0），这时原点是 可导但是不连续的吗？

Answer 1

你好：
如果在R上连续

因为Y的导函数是2X，2X在R上连续且为一次函数，Y的导数在R全部存在，所以Y在R上连续。
在这里x是否是在R上，从你后面（当x>o或x<o），没有0点，这样就不连续了，0点没有定义域。
函数在某点 可导都是是连续

追问

谢谢你，不过，x在 0点有定义啊，当x=0时，y=1

追答

x在 0点有定义啊，当x=0时，y=1,那就连续

追问

x=0这一点不是断开了吗？这个是分段函数。谢谢！

追答

此处在拐点处，对于y=x^2(当x>o或x<o)不是连续的
但对整个函数来说是连续的

追问

连续的定义：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。因此，上面那种情况，分段函数，在分段点应该不是连续的啊：）

追答

这是间断点：

如果函数f(x)在点x0处有下列三种情形之一，则点x0为f(x)的间断点：

1. 在点x0处f(x)没有定义，在X0为发散状态【如图一，tanx】；2.不存在；3.在x0无定义，趋近与x0时连续波动【如图三sin（1/x）】4.虽然f(x0)有定义，且存在，但不等于f(x0)。

2. 上面的题符合不？

   这是连续的概念：

   设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有 lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点。 设函数在区间(a,b]内有定义，如果f(x)在x=b的左极限存在且等于f(b)，即： lim(x->b-)f(x)=f(b)，那么就称函数在点b左连续。设函数在区间[a,b)内有定义，如果f(x)在x=a处右极限存在且等于f(a)，即： lim(x->a+) f(x)=f(a)，那么就称函数f(x)在点a右连续。一个函数在开区间(a，b)内每点连续，则为在(a，b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续。
   

追问

对啊，间断点应该是 不连续的

追答

0点符合间断点吗？

追问

谢谢啊，总算搞清楚了。可去间断点的左右极限存在且相等，但是 左右导数却往往并不存在

追答

那你为什么不采纳啊

Answer 2

你这个反例，x=0处的导数根本不存在的呀，用导数的定义算x=0是趋于无穷的，本来就不存在，所以这个点不连续也正常