Question

已知函数f(x)=lnx-mx(m属于R) 1、求函数f(x)在区间【1，e】上的最大值 2

对于x大于0，均有f（x）+mx小于等于bx小于等于e的x次方，求b的取值范围

Answer 1

f(x)=lnx-mx
f'(x)=1/x-m
当1/e≤m≤1时，存在驻点x=1/m,

x∈[1,e] f''(x)<0，f(1/m)为最大值=-lnm-1
当m<1/e时，f'(x)>0,f(x)单调递增，最大值=f(e)=1-me
当m>1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，最大值=f(1)=-m
(2)f(x)+mx≤bx≤e^x
即lnx≤bx≤e^x恒成立
令g(x)=bx-lnx
g'(x)=b-1/x
驻点：x=1/b
g''(x)=1/x²恒大于0
∴g(1/b)是最小值≥0
1+lnb≥0→b≥1/e
再令h(x)=e^x-bx
h'(x)=e^x-b
驻点：x=lnb
h''(x)=e^x恒大于0
∴h(lnb)是最小值≥0
b-blnb≥0
b≤e
∴b的取值范围：1/e≤b≤e