Question

2014北京数学中考题答案求

（2014•北京）如图，AB是eO的直径，C是»
AB的中点，eO的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交eO于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长

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Answer 1

分析：

（1）连接OC，由C是弧AB的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；

（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=√（AB^2+BF^2），由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．

解答：

（1）证明：连接OC，

∵C是弧AB的中点，AB是⊙O的直径，

∴CO⊥AB，

∵BD是⊙O的切线，

∴BD⊥AB，

∴OC∥BD，

∵OA=OB，

∴AC=CD．

（2）解：

∵E是OB的中点，∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

{∠CEO=∠FEB

{OE=BE

{∠COE=∠FBE，

∴△COE≌△FBE（ASA），

∴BF=CO，

∵OB=2，

∴BF=2，

∴AF=√（AB^2+BF^2）=2√5，

∵AB是直径，

∴BH⊥AF，

∴△ABF∽△BHF，

∴AB/BH=AF/BF，

∴AB•BF=AF•BH，

∴BH=（AB•BF）/AF=（4×2）/(2√5)=(4√5)/5．