Question

高中不等式的题

已知x+2y+3z=1，则x^2+y^2+z^2的最小值为多少？此时x,y,Z分别为多少？
这个我有看过，很简略，看不懂啊…

Answer 1

这是网上找的不知道对不对
学过立体几何的话,设P(x,y,z),x^2+y^2+z^2=|OP|^2
|OP|最小为14/根号(1^2+2^2+3^2)=根号14
x^2+y^2+z^2最小为根号14

学过向量的话,设a=(x,y,z),b=(1,2,3)则ab=14
14=|ab|<=|a||b|=根号14|a|
|a|>=根号14
x^2+y^2+z^2最小为根号14

学过不等式的话
由(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2>=0
得到aayy+aazz+bbxx+bbzz+ccxx+ccyy>=2(abxy+aczx+bcyz)
于是(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)>=(ax+by+cz)^2
将a=1,b=2,c=3代入得到x^2+y^2+z^2>=14

当x=1/根号14,y=2/根号14,z=3/根号14时等式成立

Answer 2

利用柯西不等式
x^2+y^2+z^2=x^2+(1/2)^2*(2y)^2+(1/3)^2*(3z)^2
>=(1+1/2+1/3)*(x+2y+3z)
=11/6
当且仅当x/1=2y/(1/2)=3z/(1/3)时取等
即x=6/11,y=3/22,z=2/33时，x^2+y^2+z^2取最小值11/6