Question

二阶常系数齐次微分方程的特征方程有一对共轭复根r1,2=α±iβ时，为什么它的通解是y=(e∧αx

二阶常系数齐次微分方程的特征方程有一对共轭复根r1,2=α±iβ时，为什么它的通解是y=(e∧αx)(C1cosβx＋C2sinβx)?

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Answer 1

y(x) = c1e^[(α+iβ)x] + c2e^[(α-iβ)x]
= e^(αx) [c1e^(iβx) + c2e^(-iβx)] 下面利用欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx
= e^(αx) [c1(cosβx + isinβx) + c2(cosβx-isinβx)]
= e^(αx) [(c1+c2)cosβx + i(c1-c2)sinβx]
= e^(αx) (C1cosβx + C2sinβx)
C1,2 由初始条件确定.