Question

已知函数fx=x^2+3|x-a|(a＞0)，记fx在[-1,1]上最小值为g(a)

(1)求g(a)表达式（2）若对x∈[-1,1]，恒有f(x)≤g(a)+m成立，求m范围。

Answer 1

1）在[-1, 1]区间
若a>=1, 则f(x)=x²+3(a-x)=(x-3/2)²+3a-9/4, 函数在[-1, 1]单调减，最小值g(a)=f(1)=3a-2
若0<a<1, 则当x在[-1, a]时，f(x)=x²+3(a-x)=(x-3/2)²+3a-9/4, 单调减，最小值f(a)=a²
当x在[a, 1]时，f(x)=x²+3(x-a)=(x+3/2)²-3a-9/4, 单调增，最小值为f(a)=a²
即此时g(a)=f(a)=a²
2）m>=f(x)-g(a)
记h(x)=f(x)-g(a)，现求h(x)的最大值
若a>=1, 则f(x)在[-1, 1]单调减，最大值为f(-1)=3a+4, g(a)=3a-2,
h(x)的最大值为f(-1)-g(a)=6
若0<a<1, 则g(a)=a²，f(x)的最大值在端点f(-1)或f(1), 而f(-1)=3a+4, f(1)=4-3a, 故f(x)最大值为3a+4
h(x)的最大值为f(-1)-g(a)=3a+4-a²
综合得：当a>=1时，m>=6
当0<a<1时，m>=3a+4-a²。