Question

高中数学 不等式证明

已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,求证：a，b，c都大于0.
在线等...
...
你用的反证法还没我说的清楚，
应该假设a>0,b,c<0吧...
你要反证，就先要假设至少有一个为负，又由于abc>0,则必须有俩个是＜0，
但不能确定到底是哪两个＜0，就要假设一下，再继续证明矛盾...

Answer 1

反证法 设a,b,c不全都大于0
由abc>0 推出a>0>b≥c
由a+b+c>0 得a>-(b+c)
即a^2>b^2+c^2+2bc>2bc>bc 得bc-a^2<0
由ab+bc+ac>0 得a(b+c)+bc>0
而a(b+c)+bc<-a^2+bc<0 矛盾
所以a,b,c全都大于0

那是假设的 反证法说的应该是这个

Answer 2

不妨设其中c<0 那么可得a+b-|c|>0 ; ab-b|c|-|c|a>0 ; ab|c|<0;由第三个式子看出a,b一正一负，不妨设a>0,b<0 那么a-b-c>0; -ab+bc-ac>0; abc>0; 最后推出 bc>a(b+c)>(b+c)^2，又因为a,b,c均非零且b,c同号，则(b+c)^2大于等于4bc，这就矛盾了…所以得证
手机打得我累死…

Answer 3

由于对称轮转性，由abc>0可知必有一个数〉0，设其为a〉0，那bc同号
假设b，c均<0,那么a+b+c>0，
a的绝对值大于-（b+c）的绝对值，
ab+bc+ac>0得bc>-a(b+c)>(b+c)^2
但是bc>(b+c)^2和)(b+c)^2>2bc矛盾，
所以假设不成立，故b,c均>0