Question

如果函数f(x)的定义域为（0，+∞）当x＞1时 f（x）＞0，任意函数x，y都有f(x×y)=f(x)+f（y）

（1）求f(1)

（2）证明f(x)在定义域上是增函数

（3）假如f(1/3)=-1，求满足不等式f(x)-f(1/(x-2))大于等于2的x的取值范围

Answer 1

1,f(1*1)=f(1)+f(1) f(1)=0
f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=0 f(-1)=f(1)=0
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
函数的定义域是关于原点对称的，所以函数是偶函数
2）f(1)=f(x/x)=f(x)+f(1/x)=0 f(1/x)=-f(x)
0x1x2 f(x2)-f(x1)=f(x2/x1) x2/x11 f(x2)-f(x1)=f(x2/x1) 0
f(x2)-f(x1)0
函数在f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x^2-1)＜2.
f(2*2)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2
当2x^2-10，x根号2/2或x-根号2/2
f(2x^2-1)＜2=f(4)
在x根号2/2或x-根号2/2上是增函数，所以2x^2-14 -根号10/2x 根号10/2
所以 -根号10/2x-根号2/2或根号2/2x 根号10/2
当2x^2-10，-根号2/2x根号2/2
f(2x^2-1)＜2=f(-4)
在-根号2/2x根号2/2上是减函数，所以2x^2-1-4 这个式子恒成立，所以
所以 -根号2/2x根号2/2
综上-根号10/2x-根号2/2或根号2/2x 根号10/2或 -根号2/2x根号2/2

Answer 2

（1）令x=y=1，则f(xy)=f(x)+f(y)
=>f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
=>f(1)=0
（2）令x2>x1>0,则x2/x1>1=>f(x2/x1)＞o
且f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)>f(x1)
故函数。
（3）依题设有:f(1/9)=f[(1/3)*(1/3)]=f(1/3)+f(1/3)=-2
由f(x)-f(1/(x-2))≥2
=>f(x)+(-2)≥f(1/(x-2))
=>f(x)+f(1/9)≥f(1/(x-2))
=>f(x/9)≥f(1/(x-2)) （∵f(x)在(0,+∞)内单调递增）
=>x/9≥1/(x-2) ----①
同时 x >0 ---------②
1/(x-2)>0 ------③
①②③三式联立解得：x≥1+√10
所以，满足不等式f(x)-f(1/(x-2))大于等于2的
x的取值范围是[1+√10，+∞）