Question

高数极限 什么时候可以用等价无穷小相互替换？

Answer 1

   首先函数值应趋于零，另外两个无穷小相乘除时可以同时用等价代换，相加减时只有用后结果不为0时才能同时用

Answer 2

x趋近于零。

Answer 3

首先函数值应趋于零，另外两个无穷小相乘除时可以同时用等价代换，相加减时只有用后结果不为0时才能同时用

追答

没想到这个回答收到不少赞，但这个回答并不是十分严谨，而且现在还有人问我关于这个的问题，那我具体解释下吧。

首先我说的“函数值”趋于0指的是每个要替换的部分，而不是极限整体。举个栗子：limx→π/2，(sinx-1)/(x-π/2)^2，要把sin□替换为□需要□趋于0，但这里x不趋于零，不能用等价无穷小代换。sinx-1整体趋于零，但怎么替换它呢？我们可以把sinx写成cos(π/2-x)，那么cos(□)里面的数是不是趋于零了？现在就可以用1-cos(□)~1/2(□)^2，分子分母约掉了，极限等于-1/2

另外极限乘除是可以同时用的比如x→0，(cosx-1)/sinxtanx，三部分同时用等价无穷小代换，极限等于-1/2

极限加减呢?一个常见的极限是limx→0，(sinx-tanx)/x^3，sinx和tanx是不能用等价无穷小代换的，这里可以把sinx写成cosxtanx后等价无穷小代换，或洛必达法则，熟悉泰勒的也可以把sinx和tanx分别泰勒展开来算。

但是limx→0，(sinx+tanx)/x就可以用等价无穷小代换，sinx和tanx均代换为x，极限为2，没有问题

那为什么第一个那个加减不能用呢？上面第一个如果代换的话分子变为了0，极限算出来就是0，但实际是它应该等于-1/2。简单的说，就是“相加减时只有用后结果不为0时才能同时用”，记住它就可以。究其原因，“等价无穷小代换”只是取了泰勒展开式的第一项，忽略了高阶小量，所以说它只是一个近似，并不相等。那怎样才能相等呢？写出高阶小量。sinx和tanx可以写成x+O(x)，1-cosx可以写成1/2x^2+O(x^2)。但注意sinx和tanx中的O(x)是绝不相等的，它们相加的时候有2x，O(x)还是高阶小量，可以忽略。但它们想减时x消去了，只剩下O(x)，那么O(x)就起了决定性作用，但等价无穷小代换忽略了它，也就是说这时等价无穷小代换是不能用的。