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解：
令√[(1-x)/(1+x)]=t,，则x=2/(t²+1) -1
x√[(1-x)/(1+x)]=2t/(t²+1) -t
原式=∫[2t/(t²+1) -t]dt
=ln(t²+1) -(1/2)t²+C
=ln[(1-x)/(1+x) +1]-(1/2)[(1-x)/(1+x)]+C
=ln[2/(x+1)]-(1/2)[(1-x)/(1+x)]+C
令√[(1-x)/(1+x)]=t,，则x=2/(t²+1) -1
x√[(1-x)/(1+x)]=2t/(t²+1) -t
原式=∫[2t/(t²+1) -t]dt
=ln(t²+1) -(1/2)t²+C
=ln[(1-x)/(1+x) +1]-(1/2)[(1-x)/(1+x)]+C
=ln[2/(x+1)]-(1/2)[(1-x)/(1+x)]+C
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令u = √(1 - x)，u² = 1 - x，2u du = - dx
∫ x√(1 - x)/(1 + x) dx
= ∫ u(1 - u²)/(2 - u²) * (- 2u du)
= - 2∫ u²(1 - u²)/(2 - u²) du
= - 2∫ [u² + 1 - 2/(2 - u²)] du
= - 2 * u³/3 - 2u + 4∫ du/(2 - u²)
= (- 2/3)u³ - 2u + 4 * 1/(2√2) * ln| (u + √2)/(u - √2) | + C
= (- 2/3)(1 - x)^(3/2) - 2√(1 - x) + √2ln| [√(1 - x) + √2]/[√(1 - x) - √2] | + C
∫ x√(1 - x)/(1 + x) dx
= ∫ u(1 - u²)/(2 - u²) * (- 2u du)
= - 2∫ u²(1 - u²)/(2 - u²) du
= - 2∫ [u² + 1 - 2/(2 - u²)] du
= - 2 * u³/3 - 2u + 4∫ du/(2 - u²)
= (- 2/3)u³ - 2u + 4 * 1/(2√2) * ln| (u + √2)/(u - √2) | + C
= (- 2/3)(1 - x)^(3/2) - 2√(1 - x) + √2ln| [√(1 - x) + √2]/[√(1 - x) - √2] | + C
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