Question

f（x）=x|x|在x=0处的可导性

Answer 1

1.当x>0时,f(x)=x,f'(x)=1,所以f'(0+)=1，同理f'(0-)=-1，x=0处左右导数不等，不可导。
2.f(0+)=0+1=1,f(0-)=0-1=-1，x=0处左右极限不等，不连续，为第一类跳跃间断点。

Answer 2

f(x)=x|x|
f(x)=x² x≥0
f(x)=-x² x≤0
f'(x)=2x x≥0
f'(x)=-2x x≤0
f'(0-)=f'(0+)=0
∴f(x)在在x=0处的可导。

追问

不是连续不一定可导吗

追答

是的，左导数=右导数，就是可导了
（本函数是奇函数，将y=x² x<0 部分图像沿着x轴翻转，从图像上看x=0也是连续且可导的）