Question

有人质疑过 高等数学的函数极限 定义吗？是不是存在很大的错误。。。。知道的请和我探讨一下。

极限可分为数列极限和函数极限，
函数极限：
设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数M（>=a)，使得当x>M时有：
|f(x)-A|<ε，
则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作
lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)

Answer 1

楼上网友的说法，并不尽然，有误导成分：

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1、没有ε-δ语言的说法，只有ε-δ method（epsilon-delta method），
ε-δ语言，仅仅只是我们翻译时的极度夸而已。所谓公认的完美语言，
更是过度的夸大其词。
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2、极限理论，国际上确实已经非常成熟。只是在我们的教学中，充满
牵强附会，充满胡扯，充满硬拗，充满歪解。即使中规中矩的大学
教师，也仅仅只会照本宣科，人云亦云，生搬硬套，枯燥无味。
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3、极限理论的证明方法是：
将无穷列举法，演变为严格的理论证明；
极限的证明过程，着重的是tendency，而汉语教学中，严重忽略的
恰恰就是tendency，过分渲染了极限的限字。
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4、如果楼主的英文能力过硬，能无需字典手册熟练阅读，建议看原汁
原味的原版书籍，能事半功百倍，更能避免牵强附会的教师的误导。
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从补充图片来看，正好证明了两点 ：
第一，我们的教科书充满谬误，英文的neighborhood，是邻域，本身
就是去心概念，无需画蛇添足说成“去心领域”。中文的微积分
教科书上歪解的概念，举不胜举，俯拾皆是。
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第二，最后的取到没取到之说，恰恰就是没有理解tendency的含义，
歪解了tendency，这样的误导性解释，充斥中文微积分教材。
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5、楼主发现了什么问题？
极限是分水岭：
它分出了经典数学跟当代数学的鸿沟；
它分出了初等数学跟高等数学的鸿沟；
它分出了东方数学与西方数学的鸿沟；
、、、、、
我们古代有极限理论的萌芽，我们将它打入死牢，当成了诡辩学；
西方有paradox，但他们却以此发展了极限理论，建立了微积分。
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楼主愿意将你的发现，说一说吗？分享一下楼主的发现。
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期待着楼主的补充说明。

Answer 2

现代数学，尤其在传统分析学方面的发展，是很成熟的。
对于分析学来讲，极限是一个很重要的概念，其中ε-δ语言是目前解释极限公认的完美的语言，你如果有问题的，应该是还没有很好地对极限的概念进行公理化的理解。
质疑是好的，但前提是对知识准确深入的理解，否则会陷入民科的坑。
题主最好找一本数学分析的书籍来看看吧。

追问

lim f(x)=A 与f(x)趋于A等价， 但是x趋于X0时  是无限接近X0   并不能等于Xo,同理f(x)也不能取到A  只是一个趋向的过程。 但是如 lim x sin 1/x当x趋于0时  ，极限为0.。。并且取到了0

Answer 3

这个哪里有问题？