Question

31到36题求答案过程

Answer 1

31. ∫(1-x)/[√(9-4x^2)]dx=∫(1-1.5sint)1.5costdt/3cost
=∫(1-1.5sint)0.5dt
=0.5t+0.75cost+C=0.5arcsin2/3x+1/4√9-4x^2+C
32. x^3/(x^2+9)=x-9x/(9+x^2)
对他积分有∫xdx-1/2∫9/(9+x^2)d(x^2+9)=x^2/2-9In(x^2+9)/2+C(C为常数)
33. ∫ 1/(2x²-1) dx
=∫ 1/[(√2x-1)(√2x+1)] dx
=(1/2)[∫ 1/(√2x-1) -∫ 1/(√2x+1) ]dx
=(√2/4)[∫ 1/(√2x-1) -∫ 1/(√2x+1) ]d(√2x)
=(√2/4)(ln|√2x-1|-ln|√2x+1|)
=(√2/4)ln(|√2x-1|/|√2x+1|)
35. ∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx
=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx
=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+C C为常数
36 .令x=asint，则dx=acost dt ∫x²/√(a²-x²) dx =∫a²sin²t/(acost)·acost dt =a²∫sin²t dt =a²∫(1-cos2x)/2 dt =a²[t/2-1/4·sin2x]+C =a²[arcsin(x/a)/2-1/2·x/a·√(1-x²/a²)]+C =a²/2·arcsinx/a-1/2·x√(a²-x²)+C

追问

31题不是arcsin3/2X？，还有能不能详细告诉下写这类题的方法

追答

别处寻来的，你看看，其实技巧是熟能生巧，就是做多了题练出来的一种题感。
技巧有很多，大致来说有下面几点。

一、简单的积分：
就是五个基本积分公式的运用，ax^n，sinx，cosx，lnx，e^x。
另外加上两个反三角函数的导数的反向运用：arcsinx，arctanx。

二、复杂的积分：
1、分部积分(很有技巧性)；
2、有理分式分解(技巧性并不大，但是很繁杂，很需要耐心)；
分解的方式：代入法、比较系数法、长除法、、、、、
（有些方法，国内没有介绍，也没有对应的汉译）
3、变量代换---要根据被积函数的特点，转换成对应的代换形式：
(a)、 凑微分法，这在国内甚嚣尘上，国际上并不流行；
(b)、 正弦、余弦代换；
(c)、 正切、余切代换；
(d)、 正割、余割代换；
(e)、 正切半角代换，国内的夸张说法是《万能代换》，其实远不万能；
(f)、 余弦半角、倍角公式代换；
(g)、 三角恒等代换，用得最多的是(sinx)^2+(cosx)^2 = 1；
(h)、 倒数代换，我们刻意含糊其辞，说成倒代换；
(i)、 根式代换；
(j)、 虚数代换；

追问

上课也讲了，就是打了个盹😂，32我也看不懂啊

追答

就是拆分开来，分别求不定积分，再合在一起。。。。。记得采纳啊~~~

Answer 2

31、原式=∫1/√(9-4x^2)dx-∫x/√(9-4x^2)dx
=1/3×3/2∫1/√[1-(2/3x)^2]d(2/3x)+1/8∫(9-4x^2)^(-1/2)d(9-4x^2)
=1/2arcsin(2/3x)+(1/8)/(1/2)√(9-4x^2)+C
=1/2arcsin(2/3x)+1/4√(9-4x^2)+C
32、原式=1/2∫x^2/(9+x^2)d(9+x^2)
=1/2∫[1-9/(9+x^2)]d(9+x^2)
=1/2(9+x^2)-9/2ln(9+x^2)+C
33、原式=1/2∫[1/(√2x-1)-1/(√2x+1)]dx
=1/(2√2)ln[(√2x-1)/(√2x+1)]+C
34、原式=1/3∫[1/(x-2)-1/(x+1)]dx
=1/3ln[(x-2)/(x+1)]+C
35、原式=∫x/[(x-2)(x+1)]dx
=1/3∫[2/(x-2)+1/(x+1)]dx
=2/3ln(x-2)+1/3ln(x+1)+C
36、x=asint
dx=acostdt
原式=∫a^2sin^2t/(acost)*acostdt
=a^2∫1/2(1-cos2t)dt
=1/2a^2(t-1/2sin2t)+C
=1/2a^2arcsin(x/a)-1/4a^2*2sin[arcsin(x/a)]cos[arcsin(x/a)]+C
=1/2a^2arcsin(x/a)-1/2a^2*(x/a)*√(a^2-x^2)/a+C
=1/2a^2arcsin(x/a)-1/2x√(a^2-x^2)+C

Answer 3

好复杂