Question

求逆矩阵

Answer 1

　　求逆矩阵常用的有两种方法：

1. 伴随阵法：A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式的值，A*为矩阵A的伴随矩阵。

2. 行初等变换法：(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。

   注意：初等变化只用行（列）运算，不能用列（行）运算。E为单位矩阵。

3. 一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵：

   1 秩等于行数

   2 行列式不为0

   3 行向量(或列向量)是线性无关组

   4 存在一个矩阵，与它的乘积是单位阵

   5 作为线性方程组的系数有唯一解

   6 满秩

   7 可以经过初等行变换化为单位矩阵

   8 伴随矩阵可逆

   9 可以表示成初等矩阵的乘积

   10 它的转置矩阵可逆

   11 它去左(右)乘另一个矩阵，秩不变

4. 可逆矩阵的性质

   1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。

   2 可逆矩阵一定是方阵。

   3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。

   4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。

   5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

   6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。

   7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

5. 求解逆矩阵的举例，对于如下行列式A：（以二阶方阵为例）

   |3 0|

   |2 1|

   对于元素3，其代数余子式是（-1）^(1+1)*1=1；对于元素0，其代数余子式是（-1）^(1+2)*2=-2；对于元素2，其代数余子式是（-1）^(2+1)*0=0；对于元素1，其代数余子式是（-1）^(2+2)*3=3，所以矩阵A的伴随阵A*是：

   |1      0|

   |-2    3|
   而A的行列式|A|=3*1-2*0=3所以A^（-1）=(1/|A|)*(A*)=

   1/3|1    0|

             |-2   3|

Answer 2

Answer 3

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 4