Question

请问积分f(x)＝∫(0→x)h(x－t)t²dt的导函数应该怎么求？

Answer 1

f(x)＝∫(0->x)h(x-t).t^2 dt

let

u= x-t
du = -dt
t=0, u=x
t=x, u=0

f(x)
＝∫(0->x)h(x-t)t^2 dt
=∫(x->0) h(u) (x-u)^2 (-du)
=∫(0->x) h(u) (x-u)^2 du
=x^2.∫(0->x) h(u)du-2x∫(0->x) uh(u)du + ∫(0->x) u^2.h(u) du

f'(x)
=x^2.h(x) +2x∫(0->x) h(u)du -2x^2.h(x) -2∫(0->x) uh(u)du
+ x^2.h(x)
=-x^2.h(x) +2x∫(0->x) h(u)du -2∫(0->x) uh(u)du + x^2.h(x)