Question

求曲线y=x^2+2x+3与直线y=4x+1平行的切线方程？这个平行应该怎么理解是说通过法线垂直来找x0点吗？

我做题的步骤，先求出曲线的导数是-2/(x^2+2x+3)^2然后该怎么做，切线方程的公式我知道，可是我找不到他的y0和x0，就是y-y0=f''(x)(x-x0)这个

Answer 1

第一，y=x²+2x+3的导函数是y‘=2x+2，而不是你说的那个-2/(x^2+2x+3)^2，不知道你这个是怎么求出来的。

第二，要知道，曲线某点处的导数，几何含义就是曲线在这点切线的斜率。
所以求这个曲线与直线平行的切线方程，那么这个切线的斜率就和直线y=4x+1的斜率相同，即斜率是4.
然后根据曲线的导函数y’=2x+2=4，得到x=1，把x=1代入曲线方程，得到y=1²+2*1+3=6
所以切线就是过点（1，6），斜率为4的直线。得到切线方程为y=4x+2
这样就容易求了吧。

追问

斜率是4是怎么得到的，之前那个导数是我把题看错上面还有个分子1做出来的，导数是斜率我知道，可2x+2和4x+1他们斜率相同这表示什么为什么是4，不好意思我真的没学过斜率这4怎么得到的，谢谢咯

追答

直线的方程式y=kx+b的形式（k≠0）k就是直线的斜率。这是学直线方程时学过的啊，基本概念。所以直线y=4x+1的斜率就是4。
怎么说呢，你都已经学到导函数了，学到曲线方程了，那么不可能没学过直线方程。直线方程标准式y=kx+b的形式（k≠0）k就是直线的斜率。是直线方程那一节的基本知识点。是不可能没学过的。主要就是看能不能把学过的知识融会贯通。
有些后来学的知识点，追根溯源，可能追溯到小学时候学的知识都是有的。

追问

嗯，回答得好详细，点赞。逻辑稳稳的，以后有问题还可以向你直接提问请教吗，不知道您什么时间段有空来看一下。

Answer 2

y′=2x+2，切线与直线y=4x+1平行，也就是该点的导数值为4，所以2x+2=4，所以x=1。
所以该点是(1，6)，所以切线方程是y-6=4(x-1)，即y=4x+2。