Question

如图所示，已知抛物线y＝ x2 －1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. 如图所示，已知抛物线

如图所示，已知抛物线y＝ x2 －1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

如图所示，已知抛物线y＝ x2 －1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标.

(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积.
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由

Answer 1

• （1）因为ABC三点都在抛物线y＝ x2 -1上，所以当Y=0时，解得X=+1和-1因而可得A点坐标为（-1,0）B点坐标为（1，0）；同理当X=0时，Y=-1，所以C点坐标为（0，-1）

• （2）设CB所在直线方程为y=kx+b,带入BC两点坐标可得k=1

•         假设AP所在直线方程为y=zx+c,因为AP∥CB，所以AP所在直线斜率与CB斜率相同。即         k=z=1,带入A点坐标可得c=1,所以AP所在直线方程为y=x+1

•         又因为AP与抛物线相交，将y=x+1代入抛物线y＝ x2 -1。可得P点坐标为（2,3），

•        过点B作AC的平行线相交AP于点D，可得D点坐标为（0,1）四边形ACBP的面积=正方          形ACBD面积+直角三角形BDP的面积，可得四边形ACBP的面积=2+2=4

• （3）假设存在△AMG三角形与△PCA相似，由（2）可知，△PCA为直角三角形

           设M坐标为（a,b）,因为在抛物线上，所以b＝ a2 -1

      △AMG三角形与△PCA相似,所以AC/AP=GM/GA，因为MG⊥x轴，所以G点坐标为             （a,0）,因而GA=a+1,GM =|b|，因为b<0（X轴下方）,所以GM=-b,由（2）可知，AC=根号2，AP=3倍根号2，代入数据可得a=-1-3b,解得b=-5/9,a=2/3

            故   M坐标为（2/3，-5/9）

追问

如图(单位：m)，等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合.设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m .

(1)写出y与x的关系表达式；

(2)当x＝2，3.5时，y分别是多少？

(3)当重叠部分的面积是三角形ABC面积的一半时，三角形移动了多长时间？