Question

已知f(x)=loga(1+x)/(1-x)（a>0,且a不等于1）求f(x的定义域)？证明f(x)为奇函数？求使f(x)>0成立的x的取值

Answer 1

(1+x)/(1-x)>0
1+x>0且1-x>0 或 1+x<0且1-x<0
得到定义域是-1<x<1

f(x)=loga [(x+1)/(1-x)]
则f(-x)=loga [(1-x)/(1+x)]
=loga (1-x)-loga (1+x)
=-f(x)
所以f(x)为奇函数

log a((1+x)/(1-x))>0
如果a>1
那么(1+x)/(1-x)>1
2x/(1-x)>0
0<x<1
如果0<a<1
那么(1+x)/(1-x)<1
2x/(1-x)<0
x>1或x<0

Answer 2

x的定义域:(1+x)/(1-x)>0 => (1+x)(1-x)>0 => -1<x<1

令x在定义域范围内 f(x)=loga(1+x)/（1-x) ，
而f(-x)=loga(1-x)/(1+x)=loga[（(1+x)/(1-x)）^(-1)]=-loga(1+x)/(1-x)
所以f(x)=-f(-x)

要使f(x)>0
1.当a>1时，(1+x)/(1-x)>1 因为-1<x<1,所以1-x>0 =>上式为1+x>1-x =>x>0 =>0<x<1
2.当0<a<1时，0<(1+x)/(1-x)<1 由定义域易知大于0恒成立 ，因为-1<x<1,所以1-x<0 =>上式为1+x<1-x =>x<0 =>-1<x<0