Question

已知a，b，c∈R，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={

已知a，b，c∈R，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={x|f（x）=cx+a}．
（Ⅰ）若a=b=2c，求集合B；
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），求实数m，n的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a=b=2c≠0，
∴由f（x）=cx+a得ax2+bx+c=cx+a，
即2cx2+2cx+c=cx+2c，
得2cx2+cx-c=0，即2x2+x-1=0，
解得x=-1或x=
1
2
，即B={-1，
1
2
}
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），
则①当0∈A，0∈B时，即a=b=c，则不符号题意．
②当0∈A，0∉B时，即a≠c，b=c，
则A={0，
a−c
a
}，B={±
a−c
a
}，
则此时必有c=0，则m=-1，n=1．
③当0∉A，0∈B时，即a=c，b≠c，即B={0，
c−b
c
}，
由cx2+bx+c=cx+b得cx2+（b-c）x+c-b=0，
∵b≠c，∴
c−b
c
∉A，
则判别式△=（b-c）2-4c（c-b）=0，
解得b=-3c，解得m=2，n=4，
综上m=-1，n=1．或m=2，n=4．