Question

如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN平行BC,设MN交角BCA的角平分线于点E，交角BCA

(1`试说明；EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明
这是图

Answer 1

1、是MN与〈ACB内角平分线相交于E,与外角平分线相交于F吗?
设BC延长线端点为P,
<OCE=<BCO/2,
<FCO=<OCP/2,
<BCO+<OCP=180度,
<ECO+<FCO=90度,
MN//BC,
<OFC=<FCP(内错角相等),
<FCO=<FCO,
所以<OCF=<OFC,
三角形OCF是等腰三角形,
故OC=OF,
同理OE=OC,
故OE=OF.
2、当O移至AC中点时，
仍然OE=OF，
AO=CO，
故四边形ECFA是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又〈ECF=90度，
所以四边形AECF是矩形。

Answer 2

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

Answer 3

⒉当A运动都AC中点时,四边形AECF是矩形 设四边形AECF是矩形,则: OA=OC=OE=OF,由⒈可知OE=OC=OF ∴O为AC中点

Answer 4

解：（1）∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE
∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCF（提问者图标错了，O左边的是E不是F）
∴∠ACE=∠OEC
∴OE=OC
同理：OF=OC
∵OE=OC，OF=OC
∴OE=OF
（2）：O应该在AC中点， 过程略

Answer 5

1、解：因为 mn//bc
所以 角bce=角fec
又因为 角 bce=角eco(ce为角bca的角平分线）
所以 在三角形oec中角oec=角oce 则oce为等腰三角形
即oe=oc
同理可证of=oc
则有oe=oc=of
即oe=of
2、解：当o点在ac中点时，四边形aecf为矩形
由1得oe=of
且oc=oa(o为ac中点）
所以 四边形aecf为平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）
又因为 角bca+角ack=180度（k为bc延长线上一点）
角bce=角eca 且 角bce+角eca=角bca
角acf=角fck 且 角acf+角fck=角ack
所以 角ecf=角eca+角acf=1/2bck=90度
所以 四边形acef为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

Answer 6

CF应该是BCA的外角平分
根据MN平行BC，CF平分角ACB，得到角OEC=角OCE，OEC为等腰三角形，OE=OC；
同样，OF=OC；
所以 EO=FO
由于角平分线，很容易知道角ECF为直角，
要想四边形AECF是矩形，只要AECF平行四边形即可，
因O已是EF的中点，故只有O为AC中点，AECF才为平行四边形