Question

矩阵的问题，求大神帮忙解惑，如不对请麻烦详细解释下，谢谢

其中A方也不为0

Answer 1

如果A²=0，那么1和2都没有问题，但题目并不保证A²=0，当A²≠0时，1和2都会出问题。

1. 不可以，先给你举个反例，(E-A)X=E-A², 同样满足(2)式。看完反例你应该就明白了，因为存在一个非零矩阵A², 使得A²·A=0, 所以满足(2)式的(E-A)X的值是不唯一的。

2. 由XA-AXA=A (2)得到AXA²-XA²=A²,

   (1)式等价为X-AX+A²=E也就是(E-A)X=E-A²

   我们已经说过了，由(2)式并不能确定(E-A)X的值，所以满足方程(2)的式子并不一定满足方程(1).

追答

关于第1问，wwhhust的回答要比我的准确，应该参考他的答案。但我觉得(1)和(2)是不等价的，可以举反例，比如(E-A)X=E满足方程(2)但不满足方程(1).

追问

我也觉得（1）和（2）不等价，可是问题出在哪呢？？
矩阵方程两侧同时乘一个非零的矩阵，是恒等变形吗？
可以详细的讲讲吗，谢谢

追答

这个问题应该就相当于A=B(1), AC=BC(2)当然C不等于零，那么(2)跟(1)等价么？

答案应该是如果C可逆，CX=0当且仅当X=0, 这样两个式子是等价的，因为(2)式左右同时右乘C逆就是(1)式了。

像题目中的A不符合要求，所以同时右乘A就不等价了，因为多个矩阵右乘A会得到同一个矩阵。

追问

有点懂了，应该是这个样子。那就是矩阵不能随便左乘或右乘一个矩阵了呗

追答

嗯，不能随便乘，与不可逆矩阵做乘法很可能就不等价了。

Answer 2

追问

还有两个疑惑，1、请问怎么得到的A[E-(E-A)X]=0

2、如(E-A)可逆，那当X等于（E-A）的逆时，满足方程（2）的是吧？那就意味着也是方程（1）的解吗？？

追答

1. 由(E-A)XA=A变型得A[E-(E-A)X]=O，回答里面有

2. 后面的分析不再纠结于方程一和方程二，不要把方向搞错

3. 本题有一个大前提是A3=0,所以方程二和方程一可以互变，及等价

4. 顺便说一下，若A2=0可推出r(A)=1.5,不可能，于是A2≠0

追问

能帮忙解答一下第2个问题说的那种想法是错在哪里么，不搞懂了估计还会出问题。。
还有那个变形我没推出来哦，可以麻烦帮忙写一下吗？
另外还有个问题，假如AB=A（都是非零n阶矩阵），可以推出B=E吗？
麻烦你啦，谢谢