Question

大学高等数学微积分，导数部分，第5、7题

Answer 1

5:
lim(x-->0)f(x)/x=1,分母趋近于0，分子也必须趋近于0，否则极限为无穷大，不会是1
0/0型，使用洛必达法则，分子分母分别求导：
lim(x-->0)f(x)/x=lim(x-->0)f'(x)/1=lim(x-->0)f'(x)=f'(0)=1

也可以根据倒数定义：
f'(0)=lim(x-->0)[f(0+x)-f(0)]/x=lim(x-->0)[f(x)-f(0)]/x,前面已经分析到lim(x-->0)f(x)=0,函数连续，必有f（0）=0；
因此：f'(0)=lim(x-->0)f(x)/x=1

7：x=1处左极限：lim(x-->1-)x³=1；
x=1处函数值：a+b，
连续：a+b=1；
可导：x<1,f'(x)=3x²，lim(x-->1-)f'(x)=lim(x-->1-)3x²=3;
x≥1，f'(x)=a,f'(1)=a;
a=3
b=-2

Answer 2

5、因为lim(x->0)f(x)/x=1，且f(x)在x=0连续
所以lim(x->0)f(x)=lim(x->0)x=0，即f(0)=0
f'(0)=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x->0)f(x)/x
=1
7、因为f(x)在x=1处连续，所以f(x)在x=1处的左极限=右极限=f(1)
lim(x->1-)f(x)=lim(x->1-)x^3=1
f(1)=a+b
所以a+b=1
又因为f(x)在x=1处可导，所以左导数=右导数
f'(1-)=3x^2|(x=1)=3
f'(1+)=a
所以a=3，b=-2