Question

高三数学问题

已知函数f(x)=ln(1+x^2)+ax.(a≤0).
(1)若f(x)在x=0处取得极值，求a的值
(2)讨论f(x)的单调性

要过程，或者告诉我这个题的出处，好像是高考题，还有第三问，只不过没打上

Answer 1

求导得：f'(x)=2x/(1+x^2)+a。
(1)因为在x=0处取得极值，所以f'(0)=0，有a=0。
(2)f'(x)=(ax^2+2x+a)/(1+x^2)。
若a＜0，上式分子为开口向下的抛物线，有Δ=4-4a^2。
i)当Δ≤0，即a≤-1时，f'(x)恒不大于0，f(x)单调递减；
ii)当Δ＞0，即-1＜a＜0时，ax^2+2x+a=0求解有x=-1/a±√(1/a^2-1)。故，当x≤-1/a-√(1/a^2-1)或者x≥-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递减；当-1/a-√(1/a^2-1)≤x≤-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递增。
若a=0，f'(x)=2x/(1+x^2)。当x≤0时，f(x)单调递减；当x≥0时，f(x)单调递增。
综合上述：
当a≤-1时，f(x)单调递减。
当-1＜a＜0时，x≤-1/a-√(1/a^2-1)或x≥-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递减；当-1/a-√(1/a^2-1)≤x≤-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递增。
当a=0时，当x≤0时，f(x)单调递减；当x≥0时，f(x)单调递增。