Question

设a>0,函数f(x)=x^2+a|lnx-1|.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程
（2）当x∈[1,+无穷）时，求函数f（x）的最小值

Answer 1

第一问：a=1，f'(x)=2x+1/x。f'(1)=3，切线方程y-1=3(x-1)

第二问：（1）当 1≤x≤e时，0≤lnx≤1，lnx -1≤0，
所以 f(x)=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2-alnx+a，
f‘（x）=2x-a/x=（2x²-a）/x，
如果a＜2，则f'(x)＞0，即f（x）在1≤x≤e上为增函数，f（x）min=f（1）=1；
如果2≤a≤2e²时，在1≤x＜√(a/2) f’（x）＜0，在 √(a/2) ＜x≤e f’（x）＞0，
所以 f（x）min=f（√(a/2) ）=3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²时，f'(x)＜0，即f（x）在1≤x≤e上为减函数，f（x）min=f（e）=e²；
函数的最小值为 f（1）=1；
（2）当x＞e时，f（x）=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2+alnx-a，
f‘（x）=2x+a/x＞0，即f（x）在x＞e上为增函数，
f（x）min=f（e）=e²；
综上，有
如果a＜2，f（x）的最小值为1；
如果2≤a≤2e²，f（x）的最小值为3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²，f（x）的最小值为e²