Question

点P是椭圆x^2/4+y^2=1上的点，点F1，F2是它的两个焦点。求|F1P|*|F2P|的最大值

Answer 1

a²=4
b²=2
则c²=2
F1F2=2c=2√2
令PF1=m,PF2=n
m+n=2a=4
平方
m²+n²+2mn=16
m²+n²=16-2mn

当P是短轴端点，则角F1PF2最大
此时PO=√2,F1O=F2O=√2
所以PF1=PF2=2
则角F1PF2最大=90度
角F1PF2最小是0
所以0<=cos角F1PF2<=1

cos角F1PF2=(m²+n²-8)/2mn
=(8-2mn)/2mn
=4/mn-2

0<=4/mn-2<=1
1/2<=1/mn<=3/4
4/3<=mn<=2
-4<=-2mn<=-8/3
12<=16-2mn<=40/3
所以12<=m²+n²<=40/3
所以最大值=40/3

Answer 2

(1-x)=1/[4^(1-x)+2]
上下乘4^x
且4^x*4^(1-x)=4^(x+1-x)=4
f(1-x)=4^x/(4+2*4^x)
f(x)上下乘2=2/(2*4^x+4)
所以
f(1-x)+f(x)=(2+4^x)/(2*4^x+4)
=(2+4^x)/[2*(2+4^x)]
=1/2

4/5=1-1/5
2/5=1-3/5
所以 原式=f(1/5)+f(1-1/5)+f(2/5+f(1-2/5)+f(1)
=1/2+1/2+1/(4^1+2)
=7/6