Question

已知椭圆x2/4+y2=1的左右两个顶点分别为4,B，直线x=t（-2＜t＜2＝与椭圆相交于M,N两点，经过三点A,M,N的圆

已知椭圆x2/4+y2=1的左右两个顶点分别为4,B，直线x=t（-2＜t＜2＝与椭圆相交于M,N两点，经过三点A,M,N的圆与经过三点B,M,N的圆分别记为圆C1与圆C2,
（1） 求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值。
（2） 当t变化时，求为圆C1与圆C2的面积的和S的最小值

Answer 1

(1)椭圆的顶点 A(-2,0)和B(2,0)，设圆C1，C2的半径分别是r1,r2
直线x=t与x轴交点为P(t,0)
所以有
PC1 = PA - C1A = t + 2 - r1
PC2 = PB - C2B = 2 - t - r2
M在椭圆上所以 PM² = 1-t²/4
在Rt△MPC1和Rt△MPC2中分别用勾股定理，就有:
(t + 2 - r1)² + (1-t²/4) = r1² -------①
(2 - t - r2)² + (1-t²/4) = r2² -------②
①可以化简为 r1 = (0.75t² + 4t + 5)/(2t+4)
②可以化简为 r2 = (0.75t² - 4t + 5)/(4-2t)
所以 r1+r2 = 5/2
因此两圆的圆心距 |C1C2| = 4-(r1+r2) = 3/2 是一个定值

(2)根据(1)已知r1+r2是定值1.5
根据平均值不等式 √(r1²+r2²)/2 ≥ (r1+r2)/2 = 3/4
所以r1²+r2² ≥ 9/8 当 r1=r2=5/4时取到等号。
所以圆面积之和S = π(r1²+r2²) =9π/8

Answer 2

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