Question

如图，已知在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h,试判断c+h，a+b，h为边构成的三角

Answer 1

能构成直角三角形
解：
△ABC中角ACB=90°，CD⊥AB
则ab/2=ch/2(面积)
有h=ab/c
又直角三角形中
a^2+b^2=c^2
所以c=√(a^2+b^2)
h=ab/√(a^2+b^2)
构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边
a+b+h-（c+h）=a+b-c>0(符合)
即a+b+h>c+h
a+b+c+h-h=a+b+c>0
即a+b+(c+h)>h(符合)
h+(c+h)-(a+b)
=2h+c-(a+b)
=2ab/√(a^2+b^2)+√(a^2+b^2)-(a+b)
=(2ab+a^2+b^2)/√(a^2+b^2)-(a+b)
=(a+b)^2/√(a^2+b^2)-(a+b)
=(a+b)[(a+b)/√(a^2+b^2)-1]
=(a+b)[√(a^2+b^2+2ab/√(a^2+b^2)-1]
所以√(a^2+b^2+2ab)/√(a^2+b^2)>1
即√(a^2+b^2+2ab)/√(a^2+b^2)-1>0
h+(c+h)-(a+b)>0
h+(c+h)>a+b
所以以a+b,h和c+h为边能构成三角形
（c+h^2
=c^2+2ch+h^2
=a^2+b^2+2c*(ab/c)+h^2
=a^2+b^2+2ab+h^2=
(a+b)^2+h^2
所以其为直角三角形，c+h为斜边

Answer 2

1/2ab=1/2ch，所以ab=ch.两边平方。a^2b^2=c^2h^2.变形。（a+b)^2-a^2-b^2=(c+h)^2-c^2-h^2.变形。(c+h)^2-（a+b)^2=c^2-a^2-b^2+h^2因为a^2+b^2=c^2.所以，（c+h)^2-(a+b)^2=h^2因为h>0.且a b c h均为线段。所以a>0,b>0.c>0.h>0故c+h>a+b。。

Answer 3

ab=ch（因为ab/2=ch/2=S△ABC）
a^2+b^2=c^2（因为直角三角形有勾股定理）
(c+h)^2=c^2+2ch+h^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=c^2+2ch
(c+h)^2=(a+b)^2+h^2，因此以它们为边的三角形为直角三角形