Question

多元函数具有一阶连续偏导数的条件

Answer 1

对于多元函数而言，可微必偏导数存在，但偏导数存在不能推出可微，而是偏导数连续才能推出可微来，这就不是充要条件了。

对于一元函数而言，可微必可导，可导必可微，这是充要条件。

要证明一个函数可微，必须利用定义，即全增量减去（对x的偏导数乘以x的增量）减去（对y的偏导数乘以Y的增量）之差是距离的高阶无穷小，才能说明可微。

扩展资料：

多元函数x方向的偏导：

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)。

函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

多元函数y方向的偏导：

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

、

Answer 2

一阶偏导存在不要求在邻域沿x或y方向连续，只要沿x方向或y方向定义偏导的那个极限存在就行了，不用说多元，就连一元函数可导，导函数也不一定连续，这能证明原函数连续，你对一阶偏导存在理解有误