Question

请教两题题高二数学关于圆方程的问题 在线等 谢谢！

1.已知圆和直线x-6y-10=0相切于(4,-1),且经过点(9,6).求圆的方程.

2.、若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0,求x-2y的最大值。

在线等 过程能详细尽量详细点 谢谢了！

Answer 1

1,假设圆心为(m,n),因为点（4，-1），点（9，6）都是圆上的点,
所以圆心与这两个点的距离相等,
即(m-9)²+(n-6)²=(m-4)²+(n+1)²，
整理得到50-5m=7n,........1式
又因为圆和直线x-6y-10=0切于（4，-1），
所在经过（4，-1）的圆的直径所在方程为y+1=-6(x-4)
所以圆心(m,n)在式2的方程中,写成n+1=-6(m-4)).........2式
由1式和2式得,
m=3,
n=5.

即圆心为(3，5)
进而求的圆的半径为√37
所以圆的方程为(x-3)²+(y-5)²=37

2,
x²+y²-2x+4y=0,即
（x-1）²+（y+2）²=5
表示圆心在（1，-2），半径为根号5的圆。

设x-2y=b，它表示一个直线系，随b取值不同而不同。

满足x²+y²-2x+4y=0的x-2y的最大值，就是说圆和直线系有交集时b的最大值。

你可以画下图，很容易看出，直线和圆相切时有最大值（上面的是最大值，下面的那个是最小值）。

这时圆心（1，-2）到直线x-2y=b的距离等于圆的半径√5：

|5-b|/√5=√5
|5-b|=5
b=10或b=0
b=10是所求的最大值，b=0为最小值。