Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)满足：1.对任意的x,y∈（0，+∞），都有f(xy)=f(x)+f(y);2.当x>1时，f(x

>0.
求证：1.对任意的x∈（0，+∞），都有f(1/x)=-f(x)
2.f(x)在（0，+∞）上是增函数。
在线等，谢！
2.当x>1时，f(x）>0

Answer 1

证明：

1. ∵对任意的x∈(0,+∞), f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(x*1)=f(x)+f(1)
∴f(1)=0
又f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)
∴f(x)+f(1/x)=f(x*(1/x))=f(1)=0
∴f(1/x)=-f(x)

2. 任取x1>x2>0
则由上题结论知-f(x)=f(1/x)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)
又∵x1>x2>0
∴x1/x2>1
又当x>1时，f(x)>0
∴f(x1/x2)>0
即f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
由定义知，f(x)在(0,+∞)上是增函数

证毕