Question

蓝色框框住的几题，这些极限之间的加减乘除怎么弄，求详解

Answer 1

7、假设lim（x→x0）（f（x）+g（c））的极限存在，那么
lim（x→x0）g（x）=lim（x→x0）(f（x）+g（c）-f（x））
=lim（x→x0）（f（x）+g（c））-lim（x→x0）f（x）
也存在，和题意矛盾。所以lim（x→x0）（f（x）+g（c））不存在。这句话是对的。
8、例如两个函数f（x）=2（x≥0）；-2（x＜0）
g（x）=-1（x≥0）；3（x＜0）
很明显f（x）和g（x）在x=0点处都没极限（左右极限不相等）
但是f（x）+g（x）恒等于1，在x=0点处有极限。所以错误。
9、例如f（x）=x，在x=0点处有极限；g（x）=sin（1/x）在x=0点处无限极（无限震荡间断点）。但是f（x）*g（x）=xsin（1/x）在x=0点处的极限为0（无穷小乘以有界函数还是无穷小），所以这句话错误。

追问

谢谢你的回答，我正在看☺

不好意思，那个第七题我没看懂，能不能再说一下

追答

极限的性质中，有这么一个性质，如果lima（x）和limb（x）都是存在的
那么lim[a（x）±b（x）]也存在，并等于lima（x）±limb（x）
用反证法来证明lim[f（x）+g（x）]不存在。
先假设lim[f（x）+g（x）]存在，有极限。
那么g（x）=[f（x）+g（x）]-f（x）（f（x）+g（x）就是前面性质中的a（x），f（x）就是前面性质中的b（x））
所以limg（x）=lim{[f（x）+g（x）]-f（x）}=lim[f（x）+g（x）]-limf（x）也是存在的。
这就和limg（x）不存在矛盾。所以关于lim[f（x）+g（x）]存在的假设是错的。也就是说lim[f（x）+g（x）]不存在。
反证法应该学过吧。