Question

二阶可导能得出二阶导数连续么？ 不是说可导比连续么？ 二阶可导怎么理解？

Answer 1

不可以“可导一定连续”指的是求导以前的函数连续而不是导函数连续二阶可导指的是一阶导数可导，可以说明一阶导数连续，但是不能说明二阶导数连续。

导数与函数的性质

单调性

（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点。

在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

凹凸性

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。

如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

以上内容参考：百度百科-导数

Answer 2

是这样的y=f(x)可导，则f(x)必然连续。

但f'(x)不一定连续。

比如我们f(x)可以定义如下：

f(x)=0 若 x=0
f(x)=x²sin(1/x) 若 x≠0

这个函数是可导的
这是因为在x≠0，可导显然
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
x=0处有,x→0
f'(0) = lim (x²sin(1/x)-0)/(x-0)
=lim xsin(1/x)=0 (无穷小乘有界量极限为0)

所以有
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) 若 x=0
f'(x)=0 若 x≠0

f'(x)是不连续的，因为x→0时，lim f'(x)不存在。

再令F(x) = ∫f(t)dt (积分区间为0到x)

可以得到F''(x)=f(x),F二阶可导，但二阶导数不连续

Answer 3

设函数y=f(x)在x0处可导，则函数f(x)在x0处连续，而并非导函数f'(x)在x0连续。
同样二阶可导是说一阶导函数f'(x)在某点x0处可导。因此一阶导函数在x0处连续，并非二阶导函数f"(x)在x0处连续。