Question

求解一道概率题，谢谢！

题目：
设X,Y服从正态分布(1,0,32,42,-0.5),Z=X/3+Y/2。
a.求概率密度fZ(z)
b.求ρxz。
c.x与z是否互相独立？为什么？
原理应该很简单，只是相关的积分实在是十分困难……
求高手相助，谢谢！

Answer 1

由于X,Y服从二维正态分布（1,0,32,42，-0.5），故由课本推论可知，X服从正态分布（1,32），Y服从正态分布（0,42），且X与Y的相关系数为-0.5。
（1）Z=X/3+Y/2，所以由正态分布的均值和方差的可加性（课本定理）容易知道，Z服从正态分布（1+0,32+42），即（1,74）。

（2）ρxz是指随机变量X与Z的相关系数吧！！ 设ρxz=A，那么A=cov（X,Z)/[（D(X)的开方） * （D（Y）的开方）]，D[X]和D[Y]就是32和42，所以只要把cov(X,Z)求出来即可。而cov(X,Z)=COV(X,X/3+Y/2)=COV(X,X/3)+COV(X,Y/2)=(1/3)*D(X)+(1/2)*COV(X,Y),又由于X与Y的相关系数是-0.5，所以套公式可以直接把cov(X,Y)求出来，D（X）又是已知的，所以cov（X,Z）就可以算出来。

（3）根据第二问的结果，如果X,Z的相关系数ρxz等于0，那么X,Z就不相关；不等于0就是相关的。而正态分布随机变量的 相关性和独立性是等价的，所以就可以判断X与Z是否独立了。

要灵活运用这些随机变量的性质，这种题目一般不会让你积分的，否则还是考题么？呵呵