Question

已知定义在R上的函数f(x)=2^x+a/2^x，

a为常数 1. 如果f(x)满足f(-x)=f(x)，求a的值 2. 当f(x)满足1时，用单调性定义f(x)在[0,+00)上的单调性，并猜想f(x)在[-00，0)上的单调性（不必证明）

Answer 1

1.偶函数 随便带一个数进去 f(1)=f(-1) a=3
2.a=1 f(x)=2^x+1/2^x
令x2 > x1 >= 0
f(x2)-f(x1) = (2^x1+2^x1)-(2^x2+2^x2)
= (2^x1*2^x2)*{(2^x1*2^x2-1)/(2^x1*2^x2)}
只需判断2^x1*2^x2>1 而2^x>1
所以f(x1)-f(x2)>0
f(x)在x>=0 上是增函数

f(x)=f(-x) 偶函数 则f(x)在x<=0上是减函数