Question

设函数f(x)=ln(ex+1)-x/2,则函数f(x)的图象大致是

设函数f(x)=ln(ex+1)-x/2,则函数f(x)的图象大致是

Answer 1

（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2aex，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=1x，g′（2a）=12a由题意可知，2a=12a，即a2=14又a＞0，所以a=12…（3分）不等式x?m＞xf(x)?x可化为m＜x-xf（x）+x即m＜x-xex，令h（x）=x-xex，则h′（x）=1-（12x+x）ex，∵x＞0，∴12x+x≥2，又x＞0时，ex＞1，∴（12x+x）ex＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式x?m＞xf(x)?x成立，只需m＜h（5）=5-5e5，所以实数m的取值范围是（-∞，5-5e5）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=12，∴|f（x）-g（x）|=|ex-lnx|令q（x）=ex-x-1，则q′（x）=ex-1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即ex-1＞x …①令m（x）=lnx-x+1，则m′（x）=1x?1，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得ex-1＞lnx+1，即ex-lnx＞2又由①得ex＞x+1＞x由②得lnx＜x-1＜x，∴ex＞lnx∴|f（x）-g（x）|=ex-lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）