Question

代数几何学的发展史

Answer 1

Dieudonne把代数几何学的历史分为七个时期：
前史（prehistory，Ca.400BC-1630A.D），
探索阶段（Exploration，1630-1795），
射影几何的黄金时代（1795-1850），
Riemann（黎曼）和双有理几何的时代（1850- 1866），
发展和混乱时期（1866-1920），
涌现新结构和新思想的时期（1920-1950），
最后的一个阶段，也就是代数几何史上最辉煌的时期，层（sheaf）和概型（Scheme）的时代（1950-）。
代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线，即由多项式P（x，y）=0定义的轨迹，比如最简单的平面代数曲线——直线和圆，古希腊时代就已经在研究圆锥曲线和一些简单的三次，四次代数曲线了。承前述可以看出，研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示，所以，真正意义上的研究还得从Descartes（笛卡尔）和Fermat（费马）创立几何图形的坐标表示开始说起，但这已经是17世纪的事情了。解析几何学对于代数曲线和曲面已经有相当完整的结果了，从Newton（牛顿）开始已着手对三次代数曲线进行分类，共得出72类。
从这时起，分类问题便成为代数几何中的重要问题了，这些问题成为大量研究工作的推动力。但是，反过来，正是由于对三次的或四次的代数曲线进行的分类过于繁复，从而推动了解析几何学向代数几何学的过度，也就是在更加粗糙的水平上进行分类和进行一般的理论研究。
18世纪，AG（代表代数几何，以下类同）的基本问题是代数曲线或代数曲面的相交问题，相当于代数方程组中的消元问题，这个时期得到的基本成果是Bezout定理（贝竹定理）：
设X，Y是P^2中两支不同的曲线，次数分别为d和e，令X#Y={P_1, P_2,......P_s}是它们的交点, 在每个点处的相交数分别记为 I(X,Y;P_j), 则
∑I(X,Y;P_j)=de。
随着19世纪射影几何学的兴起，开始用射影几何方法来研究代数曲线，其中引进了无穷远点及虚点和用齐次多项式及射影坐标P （X_0,X_1,X_2)=0来表示代数曲线，并且允许出现复坐标，1834年，德国数学家普吕克尔得出关于平面曲线的普吕克尔公式，这个公式把平面代数曲线的代数特征和几何特征联系起来了，如次数和拐点数等，特别是由此证明了一般三次代数曲线(即椭圆曲线)皆有9个拐点，1839年，他还发现四次曲线有28条二重切线，其中至多8条是实的。
上面就是前三个阶段代数几何学的一个概貌。