Question

证明x(x+1)(x-1)能被3整除

Answer 1

证明：因为x-1,x,x+1是三个连续的数，这三个数中必有一个能被3整除。
所以x(x+1)(x-1)能被3整除

Answer 2

这个最好的证明方法就是用Ring和Field里的某一定理，简直是一步到位。这个定理是：如果p(x)是一个最高次项系数为1的关于x的多项式，而且p(d)≠0，其中d是所有的可以整除常数项的整数，则，则p(x)=0在有理数范围内没有根。应用在这道题里，你只需要令p(x)=X3+X+1，证明p(1)≠0且p(-1)≠0，就能说明这个方程式没有有理数解的了。顺带一提，这个定理其实算是一个推论了吧，原定理是这么说的：令p(x)=an×x^n+a(n-1)×x^(n-1)+……+a1×x+a0为一个各项系数为整数的关于x的多项式。如果有理数r/s（已化成最简形式，即r跟s互质）是p(x)=0的一个根，则a0是r的倍数，an是s的倍数。证明方法相当简单，要证an是s的倍数，已知p(r/s)=an×(r/s)^n+a(n-1)×(r/s)^(n-1)+……+a1×(r/s)+a0=0，两边同时乘以s^n，得到0=an×r^n+a(n-1)×r^(n-1)×s+……+a0×s^n。即an×r^n=-s(a(n-1)×r^(n-1)+……+a0×s^(n-1))。由r与s互质，我们得到，an是s的倍数。证明a0是r的倍数是如法炮制的。而这个推论就很自然地出来了。如果p(x)的最高次项系数是1，那么如果有解r/s，则s必须是±1，即解变成了±r。那如果没有一个可以整除a0的±r满足p(±r)=0，我们就知道，p(x)=0没有有理数解了。希望你满意我的答复。

Answer 3

若x是任意大于1的正整数，则（x-1）、x、（x+1）是连续三个正整数。
任意正整数，除以3只有三种余数，余0（整除）、余1、余2。
当x除以3整除时，x(x+1)(x-1)能被3整除；
当x除以3余1时，（x-1）能被3整除，x(x+1)(x-1)能被3整除；
当x除以3余2时，（x+1）能被3整除，x(x+1)(x-1)能被3整除。