柯召的科学研究
柯召院士在科学道路上攀登一生，取得卓越成就：在不定方程方面，解决了一百多年来未能解决的卡特兰猜想的二次情形，获得了一系列重要成果；在组合论方面，与他人合作得出了著名的“爱尔特希—柯—拉多定理”，开辟了极值集论迅速发展的道路；在数论方面、在表二次型为线性型平方和的研究上取得一系列重要成果。在发展中国教育事业、培养大批科学人才方面，他做出了重大贡献。
不定方程
背景
柯召从30年代起，就潜心研究不定方程，对这个领域的贡献十分突出。
1．爱尔特希猜想的否定
1938年，爱尔特希猜想：不定方程xxyy=zz （1）无整数解x>1，y>1，z>1。
1940年，柯召用极其精湛的初等方法证明了当（x，y）=1时，方程（1）无x>1，y>1，z>1的整数解；但当（x，y）>1时，有无穷多组解
时至今日，50多年过去了，爱尔特希对这一美妙的结果仍然赞叹不已。爱尔特希说：“柯给出的无穷多组解使我十分惊奇，也许这就是方程的全部解。”事实上，方程（1）有无其他的解？方程（1）有无奇数解？这是两个至今仍未解决的问题。
2．M．维尔纳（Werner）猜想的证明
维尔纳猜想：不存在3个有理数，它们的和为1，它们的乘积也是1。即不定方程
x十y十z=xyz=1无有理数解。
这一猜想在很长时间内使数学家们束手无策。这一猜想等价于不定方程
x3+y3+z3－xyz=0，（x，y，z）=1
无xyz≠0的整数解。1960年，柯召以其扎实的代数数论功底，证明了这一猜想。不定方程x十y十z=xyz=1已推广到各种代数数域，引出一系列深刻的工作。
3．柯氏定理，卡塔朗猜想的重大突破
1842年，法国数学家E．C．卡塔朗（Catalan）提出一个猜想：8和9是仅有的二个大于1的连续整数，它们都是正整数的乘幂。这一著名的猜想，在很长一段时间内，甚至连“是否有3个连续整数，它们都是正整数的乘幂；以及方程x2=yn十1（n>3，xy≠0）是否有正整数解”都未解决。1962年，柯召以极其精湛的方法解决了这两个难度很大的问题。他证明了不存在3个连续数都是正整数的乘幂，以及证明了方程x2=yn十1在n>3时无xy≠0的正整数解。这是研究卡塔朗猜想的重大突破。莫德尔的专著《不定方程》（The Diophantine Equations）中把柯召关于方程x2－1=yn的结果称为柯氏定理。特别是，他在证明这个定理时，提出了计算雅可比（Jacobi）符号 来研究不定方程的方法，这里 n是奇数，p、q是不同的奇素数。1977年，G．特尔加尼亚（Terjanian）对偶指数费马大定理第一情形的证明，以及1983年，A．罗特基维奇（Rotkiwicz）在不定方程中所取得的一系列重要结果，都用到柯召的方法和思想。
4．爱尔特希－柯－拉多定理
设S是一个有限集，|S|=n，Ai?S，|Ai|≤k，n≥2k，A?Aj，|A∩Aj|≠0，1≤i<j≤f（n，k），则f（n，k）≤，而且如果所有的Ai之间有一个公共元，则f（n，k）=。这就是著名的爱尔特希－柯－拉多定理。这个定理发表于1961年的文章中，30多年来，它已被上百篇文章引用。该文提出的许多问题，大大推动了极值集论的发展。正如P．弗兰克尔（Frankl）和R．L．格雷厄姆（Graham）所指出的：“爱尔特希－柯－拉多定理是组合数学中一个主要结果，这个定理开辟了极值集论迅速发展的道路。”
二次研究
从30年起，柯召在表二次型为线性型平方和的问题方面，在二次型表为不可分解型之和以及二次型的等价分类等问题上，作了一系列重要工作，他是中国二次型研究的开拓者。
1．表平方和问题
设 是一个整系数正定二次型，Rn表示最小的i，j=1正整数rn，使得对一个任给的n元二次型f，存在rn个线性型
这里Q表示有理数域。寻求Rn的工作始于E．G．H．兰道（Landau）和莫德尔。1937年，莫德尔证明了Rn≤n十3。1937年，柯召对Rn≤n十3给出了一个简洁的证明，并于1938年证明了Rn=n十3，从而彻底解决了这一问题。这是他在二次型方面的第一个重要工作。
1940年，他还证明了对于任给的非定n元么模二次型f，存在εi=±1和线性型Li，使得
2．不可分问题
设f是一个整系数正定二次型，如果f不能表成二个整系数非负二次型的和，我们称f是n元不可分解型。1937年，莫德尔证明了对于n≤5，不存在不可分解型，而在n=8时有这样的型存在。柯召和爱尔特希证明了n≥12时，除开n=13，17，19，23外，均存在n元不可分解型，使这一问题得以基本解决。1958年，柯召证明了不存在13元不可分解型。
3．类数问题
设Cn，1，代表n元正定么模二次型的类数。C．埃尔米特（Her－mite）证明了n≤7时，Cn，1=1。1937年，莫德尔证明了C8，1=2。1938年，柯召证明了n=9，10，11时，Cn，1=2。同年，他和爱尔特希证明了对适当大的n，Cn，1≥2√n。1958年至1960年，他先后证明了C12，1=C13，1=3，C14，1=4，C15，1=5，以及C16，1≥8，并且找出了每一个类的代表型。
这些结果，至今仍具有重要的学术价值。1988年，在日本召开的国际信息论会议上，两位获奖人中的一位——美国数学家N．J．A．斯托勒（Stoane），对一位中国代表谈到柯召30年代有关二次型的论文时说：“我很惊异中国人那么早就已作出了巨大的成就。”斯托勒还请这位代表带信向柯召致意：“我拜读了您1938年关于二次型的论文，棒极了。”
对不定方程的突出贡献
