Question

高中数学！

高中数学！已知f（x）≡x（1/2x－1＋1/2），（x不等于 0）
（1）判断f（x）的奇偶性
（2）证明：f（x）＞0
（注明：2x表示2的x次方）

Answer 1

f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/[2(2^x-1)]=(x/2)(2^x+1)/(2^x-1)
f(-x)=(-x/2)[2^(-x)+1]/[2^(-x)-1]
=(-x/2)[2^x+1]/[1-2^x]
=(x/2)(2^x+1)/(2^x-1)
=f(x)
f(x)是偶函数

（x/2)(2^x+1)/(2^x-1)>0
即：x/(2^x-1)>0
即：x(2^x-1)>0

证明过程：
当x>0时,2^x>1，即2^x-1>0, 也即：x(2^x-1)>0，即：x/(2^x-1)>0
当x<0时,2^x<1，即2^x-1<0, 也即：x(2^x-1)>0，即：x/(2^x-1)>0
而2^x+1>0恒成立
所以当x不等于0时，（x/2)(2^x+1)/(2^x-1)>0
即：f(x)>0