Question

A转置乘A为什么与A有相同的秩？

Answer 1

相等，因为A的秩为r，必有一个r阶的行列式不为0的矩阵，转置这个仍然是这个。

用A'表示A的转置，要证明r(A'A)=r(A),只需证明方程组AX=0和A'AX=0，同解，如果AX=0，两边分别左乘A'，得A'AX=0，这说明方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解，另一方面如果A'AX=0，两边分别左乘X'，得X'A'AX=0，即(AX)'AX=0。

扩展资料：

注意事项：

如果A的列向量线性无关，则 T(A)*A得到一个可逆的方阵。

假设A是一个kxn的矩阵，那么T(A)*A是一个nxn的方阵，要证明这个方阵可逆，只要证明N(T(A)*A) = 零空间即可。

假设列向量向量V，满足 (T(A)*A) V = 0 =>  T(V)*T(A)*A*V = 0=> T(AV)*(A*V) = 0=> AV=0   A的零空间只包含零向量=>V = 0。

参考资料来源：百度百科-矩阵转置

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

Answer 2

证他们同解即可。设 A是 m×n 的矩阵.
1，首先Ax=0 是 A'Ax=0 的解。
2，A'Ax=0 → 两边同乘以x’则有x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0
故两个方程是同解的.根据同解的定理，他们两个的秩就相等。

Answer 3

设 A是 m×n 的矩阵.可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解,好理解.2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0故两个方程是同解的.同理可得 r(AA')=r(A')另外 有 r(A)=r(A')所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

Answer 4

用一个不等式直接证明：
R（A）+R（B）-n <= R(AB) <= min{ R(A），R（B）}
n+n-n <= R(A^T A) <= n