Question

对数求导法

用对数求导法求函数y=(lnx)^x的对数
过程
lny=ln[(lnx)^x]
lny=xln(lnx)
两边分别求导:
y'/y=ln(lnx)+x/xlnx
=ln(lnx)+1/lnx

所以
y'=y[ln(lnx)+1/lnx]
=(lnx)^x[ln(lnx)+1/lnx]

我看不懂“两边分别求导:
y'/y=ln(lnx)+x/xlnx”
为什么右边对lny求导就变成了y'/y 我觉得是1/y才对啊，但是这样有求不出结果了。

望高人指点~~

Answer 1

是这样的：
“两边分别求导”这句话省略了两个字，应该是“两边分别对x求导”.

如果：lny对y求导，当然是1/y，但是，现在是对x求导，这里由于y是x的函数，所以应用复合函数的求导法则，先求出lny对y的导数1/y，然后乘以y对x的导数y'，即lny对x的导数是：y'/y.

在求导的时候应该注明自变量是什么，否则容易出错，这里自变量是x，并且y是x的函数.

按您的理解，左边就是对y求导，而右边却是对x求导，这样岂会正确？

Answer 2

因为y是因变量，是x的函数，就象是求 sin(x²)的导数一样不能直接等于cos(x²), 是等于sin(x²)*(x²)'=2x*sin(x²),在这里把x²看做y,就是(siny)'=cosy*(y')=cos(x²)*2x,这样就可理解 (lny)'=(1/y)*y'了。