Question

请教一道高等数学的问题，求画下划线处的解释，如图。

求下划线处的解释，最好详细点，我基础比较差，谢谢！

Answer 1

因 lim<x→0> f(x)/x = A (为常数)， 分母极限是 0， 分子极限必为 0，
否则，分式极限不存在。故 f(0) = 0.

当 x ≠ 0 时，令 u = xt， 则 t = u/x, dt = du/x
ψ = ∫<0, 1> f(xt)dt = ∫<0, 1/x>>f(u)du/x = (1/x) ∫<0, 1/x>>f(u)du。

由前面得出的导数表达式， 当 x ≠ 0 时， ψ'(x) = f(x)/x - [∫<0, x>>f(u)du]/x^2,
两边在 x→0 时取极限，后者用罗必塔法则，得
lim<x→0>ψ'(x) = lim<x→0>[ f(x)/x] - lim<x→0>f(x)/(2x)
= A - A/2 = A/2 = ψ'(0)