Question

复数项级数判断是否收敛，用比值法做下面这题4.2（1）得出比值的极限

复数项级数判断是否收敛，用比值法做下面这题4.2（1）得出比值的极限是i,无法和1进行比较，怎么才能判断收敛性。

Answer 1

比值法得到的结果不是i，因为比值法是通过两项比值的绝对值（模）来进行判断的，而

lim |(i^n/n)/(i^(n+1)/(n+1))|=1，所以比值法无法进行判断。下面就需要进行深入的判断了。

现在判断级数是否绝对收敛：Σ|i^n/n|=Σ(1/n)是调和级数，因此不是绝对收敛的。

接下来判断是否满足条件收敛。因为通过上面的判断我们得到了不满足绝对收敛的条件，因此不能随意交换求和顺序。但是即使顺序不能“随意”交换，但是按照级数原有的特点进行交换还是可以的。对于这个级数，它的奇数项都是纯虚数，偶数项都是实数，而一个复数级数收敛的充要条件就是实部和虚部同时收敛，因此可以把奇数项和偶数项分离，判断两者是否同时收敛：

容易看出上图最后一行的两个级数都是条件收敛的，所以原级数条件收敛。