Question

讨论广义积分的敛散性

Answer 1

广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散 。广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。

因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

Answer 2

运用柯西判别法的极限形式
令L=lim(x->+∞) x^p/[x^a*(lnx)^b]
=lim(x->+∞) [x^(p-a)]/[(lnx)^b]
（1）令p>1
当a>=p>1时，L=0，所以原积分收敛
（2）令p<=1
当a<p<=1时，L=+∞，所以原积分发散
（3）令a=1
原积分=∫(3,+∞)d(lnx)/(lnx)^b
当b=1时，原积分=∫(3,+∞)d(lnx)/(lnx)=ln|lnx||(3,+∞)，发散
当b<1时，原积分=[1/(1-b)]*(lnx)^(1-b)|(3,+∞)，发散
当b>1时，原积分=[1/(1-b)]*1/(lnx)^(b-1)|(3,+∞)=1/(b-1)(ln3)^(b-1)，收敛
综上所述，
a>1时，原积分收敛
0<a<1时，原积分发散
a=1，0<b<=1时，原积分发散
a=1，b>1时，原积分收敛