求极限lim[x→0+](x^x-(sinx)^x)/(x^2ln(1+x))
结果为:1/6
解题过程如下:
解:应用等价无穷小替换
ln(1+x) ~ x
分母等价为:x³
对于分子:
(x^x)·[1-(sinx/x)^x]
(x^x)·{1-e^[xln(sinx/x)]}
∵lim(x→0+) xln(sinx/x)=0
∴1-e^[xln(sinx/x)] ~ -xln(sinx/x)
-xln(sinx/x)= -x ln[1+(sinx-x)/x]
ln[1+(sinx-x)/x] ~ (sinx-x)/x
∴1-e^[xln(sinx/x)] ~ x-sinx
根据基本公式:x-sinx ~ (1/6)x³
∴分子等价于:(x^x)(1/6)x³
而:lim(x→0+) x^x
=e^lim(x→0+) xlnx
=e^lim(x→0+) lnx/(1/x)
=e^lim(x→0+) (1/x)/(-1/x²)
=1
综合:原极限
=lim(x→0+) (x^x)·[1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) [1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) {1-e^[xln(sinx/x)]}/x³
=lim(x→0+) -xln(sinx/x)]/x³
=lim(x→0+) -xln[1+(sinx-x)/x]]/x³
=lim(x→0+) -x·[(sinx-x)/x] / x³
=lim(x→0+) (x-sinx)/x³
=1/6
扩展资料
求数列极限的方法:
设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:
1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等,即f(x0+)≠f(x0-)。
2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在
3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等,但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。
则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。
∵x→0时,e^x~1+x、ln(1+x)~x,且x→0时,xlnx→0、xln(sinx)→0,
∴x^x-(sinx)^x=e^(xlnx)-e^[xln(sinx)]~xlnx-xln(sinx)。∴原式=lim(x→0)(lnx-lnsinx)/x^2。
又,x→0时,sinx~x-(1/6)x^3,∴lnx-lnsinx~lnx-ln[x(1-x^2)/6]=-ln(1-x^2)/6~(1/6)x^2,
∴原式=(1/6)lim(x→0)(x^2)/x^2=1/6。
供参考。
分子为什么能用等价无穷小替换呢?x^x与(sinx)^x都不是因式啊?
通过变形,如x^ x=e^(xlnx),当x趋于0时,xlnx也趋于0,满足了替换条件,就可以替换处理了。
分析:方法还是比较多的,不知道你学到那个阶段了,这里只用比较简单的初级的,泰勒定理的就不用了!
这种题,首先考虑应用等价无穷小替换!
显然:ln(1+x) ~ x
分母等价为:x³
对于分子:
(x^x)·[1-(sinx/x)^x]
(x^x)·{1-e^[xln(sinx/x)]}
∵
lim(x→0+) xln(sinx/x)
=0
∴
1-e^[xln(sinx/x)] ~ -xln(sinx/x)
-xln(sinx/x)= -x ln[1+(sinx-x)/x]
ln[1+(sinx-x)/x] ~ (sinx-x)/x
∴
1-e^[xln(sinx/x)] ~ x-sinx
根据基本公式:
x-sinx ~ (1/6)x³
∴
分子等价于:(x^x)(1/6)x³
而:
lim(x→0+) x^x
=e^lim(x→0+) xlnx
=e^lim(x→0+) lnx/(1/x)
=e^lim(x→0+) (1/x)/(-1/x²)
=1
综合:
原极限
=lim(x→0+) (x^x)·[1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) [1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) {1-e^[xln(sinx/x)]}/x³
=lim(x→0+) -xln(sinx/x)]/x³
=lim(x→0+) -xln[1+(sinx-x)/x]]/x³
=lim(x→0+) -x·[(sinx-x)/x] / x³
=lim(x→0+) (x-sinx)/x³
=1/6