Question

求微分方程通解：y'cosy-cosxsin²y=siny

Answer 1

y' = cosxcosy + sinxsiny = cos(x-y)

令x-y = t,则dt = dx-dy

又y' = dy/dx,代入原式得

dy/dx = cost,因dt = dx-dy

则dt = dx - costdx

dx = dt/(1-cost) = d(t/2)/sin²(t/2)

两边积分x = -cos(t/2)/sin(t/2) + C

即x = -cos[(x-y)/2]/sin[(x-y)/2] + C

微分方程的分类：

1、偏微分方程

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。

有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

2、线性及非线性

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。

Answer 2

y' = cosxcosy + sinxsiny = cos(x-y)

令x-y = t,则dt = dx-dy

又y' = dy/dx,代入原式得

dy/dx = cost,因dt = dx-dy

则dt = dx - costdx

dx = dt/(1-cost) = d(t/2)/sin²(t/2)

两边积分x = -cos(t/2)/sin(t/2) + C

即x = -cos[(x-y)/2]/sin[(x-y)/2] + C

扩展资料：

微分方程的分类：

1、偏微分方程

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。

有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

2、线性及非线性

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

Answer 5

追问

你这不对吧？dy/dx没办法分离到等式两边啊？

追答

不好意思是我错了。 这样只好做一换元： t = sin y, dt = cos y dy。 真是细心。

然后左边上下同乘一个 e ^ -x。

然后再作一换元：s = (e ^ -x) * t, ds = (e ^ -x) * (t' - t) dx

这样就分离到两边。

这样就分离到两边。然后两边积分。

=> - (1 / s) = (e ^ x) * (sin x + cos x) / 2 + C

=> y = arcsin{- (2 * e ^ x) / [(e ^ x) * (sin x + cos x) + C]}