Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x有等

已知二次函数f（x）=ax^2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足f（-x+5）=f（x-3）且方程f（x）=x有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由

Answer 1

（1）f（-x+5）=f（x-3）,说明函数图像有对称轴x=1,
所以-b/(2a)=1，b=-2a.
方程f（x）=x有等根, 即ax^2+(b-1)x=0有等根。
判别式△=0，所以b=1,从而a=-1/2.
f（x）=-1/2x^2+x.
（2）f（x）=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2.
①n≤1时，[m，n]上函数递增，所以f(m)=3m,f(n)=3n,
即-1/2m^2+m=3m, -1/2n^2+n=3n,解得m=-4,n=0.
②m<1<n时，函数最大值为f(1/2)=1/2.
因为值域为[3m，3n]，
所以3n=1/2,n=1/6,这与n≥1矛盾，舍去。
③m≥1时，[m，n]上函数递减，所以f(m)=3n,f(n)=3m,
即-1/2m^2+m=3n, -1/2n^2+n=3m,
两式相减得：-1/2(m+n)(m-n)+(m-n)=-3(m-n),
M+n=8.将n=8-m代入-1/2m^2+m=3n可得：
m^2-8m+48=0,此时方程无解。
综上知：存在m=-4,n=0符合题意。