Question

单调有界数列必有极限 为什么极限不等于它的界?

Answer 1

只证明单增的情况
已知Xn<M，M>0，设极限为A。
求证：A<=M
证明：假设A>M
A-M<|Xn-A|
由于ε是任意给定，所以我们给定ε<A-M，但是|Xn-A|<ε对于任意ε成立，故而矛盾。
因此M>=A。

单减同理

最后A<M时，因为任意给定ε，都能使|Xn-A|<ε成立，这是显然的，这样就保证极限成立了。但是我们无法证明A=M，因为M>A时极限也存在，所以极限不一定就是边界。